Algebraic invariants by Leonard E Dickson

By Leonard E Dickson

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Ln−r von Vektoren aus K n mit dieser Eigenschaft heißt System von Fundamentall¨osungen des zugeh¨origen homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Ist hier r = n, so ist {l1 , . . , ln−r } = ∅. 12. Hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr Unbekannte als Gleichungen (n > p) und besitzt es u ¨berhaupt L¨osungen, so ist die L¨osung nicht eindeutig. Insbesondere gilt: Ein homogenes lineares Gleichungssystem Ax = 0 mit A ∈ M (p × n, K) und n > p hat nichttriviale L¨osungen. 13. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ M (n × n, K), dessen zugeh¨origes homogenes Gleichungssystem nur die triviale L¨osung hat, besitzt (bei beliebigem b ∈ K n ) eine eindeutige L¨osung.

Tn−r ∈ K schreiben, und alle solchen Vektoren x ∈ K n sind L¨osungen von Ax = b. Jedes System l1 , . . , ln−r von Vektoren aus K n mit dieser Eigenschaft heißt System von Fundamentall¨osungen des zugeh¨origen homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Ist hier r = n, so ist {l1 , . . , ln−r } = ∅. 12. Hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr Unbekannte als Gleichungen (n > p) und besitzt es u ¨berhaupt L¨osungen, so ist die L¨osung nicht eindeutig. Insbesondere gilt: Ein homogenes lineares Gleichungssystem Ax = 0 mit A ∈ M (p × n, K) und n > p hat nichttriviale L¨osungen.

Ferner gilt: a) M ⊆ V ist genau dann ein Unterraum, wenn M = Lin(M ) gilt. b) Lin(M ) ist der Durchschnitt aller Unterr¨aume U von V mit U ⊇ M. c) F¨ ur M ⊆ M ist M ⊆ Lin(M ) ⊆ Lin(M ). d) Lin(Lin(M )) = Lin(M ). e) F¨ ur Unterr¨aume U1 , U2 von V ist Lin(U1 ∪ U2 ) = U1 + U2 . Beweis. Zun¨achst ist 0 ∈ Lin(M ), denn f¨ ur M = ∅ gilt das per definitionem und sonst ist 0 = 0 · v f¨ ur ein beliebiges v ∈ M . Dass f¨ ur Vektoren v, w ∈ Lin(M ) und λ ∈ K auch λ · v + w = λ · v + 1 · w eine Linearkombination der Elemente von M ist, sieht man sofort, also ist Lin(M ) in der Tat ein Unterraum von V .

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