Algorithmic Linear Algebra by Herbert Möller

By Herbert Möller

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Bifurcations in Piecewise-smooth Continuous Systems (World Scientific Series on Nonlinear Science Series a)

Real-world structures that contain a few non-smooth switch are usually well-modeled by means of piecewise-smooth structures. even if there nonetheless stay many gaps within the mathematical concept of such structures. This doctoral thesis provides new effects relating to bifurcations of piecewise-smooth, non-stop, self reliant structures of normal differential equations and maps.

Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger

Dieses seit ? ber 25 Jahren bew? hrte, einf? hrende Lehrbuch eignet sich als Grundlage f? r eine zweisemestrige Vorlesung f? r Studenten der Mathematik, Physik und Informatik. F? r einen schnellen und leichteren Einstieg ist das Buch ebenfalls zu verwenden, indem die markierten Abschnitte weggelassen werden.

A Course in Linear Algebra with Applications: Solutions to the Exercises

This is often the second one variation of the best-selling creation to linear algebra. Presupposing no wisdom past calculus, it offers an intensive remedy of the entire simple suggestions, comparable to vector area, linear transformation and internal product. the concept that of a quotient area is brought and concerning ideas of linear method of equations, and a simplified therapy of Jordan general shape is given.

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Ln−r von Vektoren aus K n mit dieser Eigenschaft heißt System von Fundamentall¨osungen des zugeh¨origen homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Ist hier r = n, so ist {l1 , . . , ln−r } = ∅. 12. Hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr Unbekannte als Gleichungen (n > p) und besitzt es u ¨berhaupt L¨osungen, so ist die L¨osung nicht eindeutig. Insbesondere gilt: Ein homogenes lineares Gleichungssystem Ax = 0 mit A ∈ M (p × n, K) und n > p hat nichttriviale L¨osungen. 13. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ M (n × n, K), dessen zugeh¨origes homogenes Gleichungssystem nur die triviale L¨osung hat, besitzt (bei beliebigem b ∈ K n ) eine eindeutige L¨osung.

Tn−r ∈ K schreiben, und alle solchen Vektoren x ∈ K n sind L¨osungen von Ax = b. Jedes System l1 , . . , ln−r von Vektoren aus K n mit dieser Eigenschaft heißt System von Fundamentall¨osungen des zugeh¨origen homogenen Gleichungssystems Ax = 0. Ist hier r = n, so ist {l1 , . . , ln−r } = ∅. 12. Hat das lineare Gleichungssystem Ax = b mehr Unbekannte als Gleichungen (n > p) und besitzt es u ¨berhaupt L¨osungen, so ist die L¨osung nicht eindeutig. Insbesondere gilt: Ein homogenes lineares Gleichungssystem Ax = 0 mit A ∈ M (p × n, K) und n > p hat nichttriviale L¨osungen.

Ferner gilt: a) M ⊆ V ist genau dann ein Unterraum, wenn M = Lin(M ) gilt. b) Lin(M ) ist der Durchschnitt aller Unterr¨aume U von V mit U ⊇ M. c) F¨ ur M ⊆ M ist M ⊆ Lin(M ) ⊆ Lin(M ). d) Lin(Lin(M )) = Lin(M ). e) F¨ ur Unterr¨aume U1 , U2 von V ist Lin(U1 ∪ U2 ) = U1 + U2 . Beweis. Zun¨achst ist 0 ∈ Lin(M ), denn f¨ ur M = ∅ gilt das per definitionem und sonst ist 0 = 0 · v f¨ ur ein beliebiges v ∈ M . Dass f¨ ur Vektoren v, w ∈ Lin(M ) und λ ∈ K auch λ · v + w = λ · v + 1 · w eine Linearkombination der Elemente von M ist, sieht man sofort, also ist Lin(M ) in der Tat ein Unterraum von V .

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